प्रश्न- सह-सम्बन्ध से आप क्या समझते हैं? सह-सम्बन्ध के प्रकार तथा विभिन्न विधियाँ का उल्लेख कीजिये।

उत्तर -

सह-सम्बन्ध का अर्थ 

सांख्यिकी माध्यों के द्वारा प्रतिनिधि इकाई तथा अपकिरण व विषमता द्वारा मनकों में विचलन व समंक मालाओं की बनावट का पता लगता है। किन्तु जब समंक मालाओं का सम्बन्ध ज्ञात करना हो तो सह-सम्बन्ध का प्रयोग करना पड़ता है। सह-सम्बन्ध एक ऐसी व्याख्यात्मक सांख्यिकी माप है जो दो समूहों के बीच पाये जाने वाले फलनात्मक सम्बन्ध की व्याख्या प्रस्तुत करती है। विभिन्न तथ्यों के पारस्पारिक सम्बन्धों के विषय में हम सामान्यता प्रतिदिन अनुभव करते हैं कि किस प्रकार एक-दूसरे से प्रभावित होते हैं तथा एक चर यदि परिवर्तित होता है तो दूसरा चर भी उस परिवर्तन से अप्रभावित नहीं रहता तथा परिवर्तित हो जाता है।

सह-सम्बन्ध की परिभाषा

"जब दो या दो से अधिक समूहों, वर्गों एवं समंक मालाओं के बीच एक निश्चित सम्बन्ध होता है तब ऐसे सम्बन्ध को सह-सम्बन्ध कहा जाता है।" - बोडिंग्टन

"सह-सम्बन्ध दो चल राशियों में पाये जाने वाले संयुक्त सम्बन्ध की ओर संकेत करता है। - लैथराप

"सह-सम्बन्ध वह अकेली संख्या है, जो यह बताती है कि दो वस्तुयें किस सीमा तक एक-दूसरे से सह-सम्बन्धित हैं तथा एक का परिवर्तन दूसरे के परिवर्तनों को किस सीमा तक प्रभावित करता है।' - गिलफोर्ड

"दो या दो से अधिक चल राशियों, घटनाओं या वस्तुओं के पारस्परिक सम्बन्ध को सह-सम्बन्ध कहते है।' - गैरेट

"सह-सम्बन्ध का उद्देश्य दो चल राशियों में पाई जाने वाली सम्बन्ध की मात्रा का पता लगाना होता है।"

सह-सम्बन्ध के प्रकार या भेद को निम्नलिखित चार्टों द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है-

(I) मात्रात्मक सह-सम्बन्ध - मात्रात्मक सह-सम्बन्ध में व्यक्तियों की क्षमताओं या विशेषताओं का तुलनात्मक अध्ययन मात्रात्मक आधार पर किया जाता है। इनमें तीन भेद होते हैं।

1. ऋणात्मक सह-सम्बन्ध - जब एक चर में बढ़ोत्तरी मात्रा में घटोत्तरी होती है या एक चर में कमी होने से दूसरे चर की मात्रा में वृद्धि होती है तो दोनों चरों के इस प्रकार के विपरीत सम्बन्ध को ऋणात्मक सह सम्बन्ध कहते हैं। जब दो चलों या पदमालाओं में होने वाले परिवर्तनों की दिशा विपरीत होती है, दूसरे शब्दों में यह कहा जा सकता है कि एक चल में वृद्धि अथवा कमी होने पर क्रमशः दूसरे में कमी अथवा वृद्धि होती है। तो इन दोनों चलों का इस प्रकार का सम्बन्ध ऋणात्मक सह-सम्बन्ध कहलाता है। यह निम्नलिखित दो प्रकार का होता है

(a) पूर्ण ऋणात्मक सह-सम्बन्ध
(b) सीमित ऋणात्मक सह-सम्बन्ध

2. धनात्मक सह सम्बन्ध - यदि एक चर के बढ़ने से दूसरे चर में भी वृद्धि होती है अथवा एक चर के घटने से दूसरे चर की मात्रा भी घटती है तो दोनों चरों के सम्बन्ध में एक रूपता को ही धनात्मक सह-सम्बन्ध कहते है। जब किन्हीं दो चलों अथवा पदमालाओं में होने वाले परिवर्तनों की दिशा एक ही होती है, दूसरे शब्दों में यह कहा जा सकता है कि एक में वृद्धि अथवा कमी होने पर क्रमशः वृद्धि या कमी होती है, तो इन दोनों चलों अथवा पद मालाओं के इस प्रकार के सम्बन्ध को धनात्मक सह-सम्बन्ध कहा जाता है। यह निम्नलिखित दो प्रकार का होता है।

(a) पूर्ण धनात्मक सह-सम्बन्ध
(b) सीमित धनात्मक सह-सम्बन्ध

3. शून्य सह-सम्बन्ध - जब एक चर की वृद्धि या कमी दूसरे चर में कोई अंतर उत्पन्न न करें अर्थात दोनों चरों का एक-दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है तब इन दोनों चरों में शून्य सह-सम्बन्ध माना जाता है।

(II) गुणात्मक सह-सम्बन्ध - इसमें व्यक्तियों की क्षमताओं या विशेषताओं का तुलनात्मक अध्ययन या विश्लेषण गुणों के आधार किया जाता है तो उसे गुणात्मक सह-सम्बन्ध कहा जाता है। इसके दो भेद होते हैं-

1. रेखीय सह सम्बन्ध -  जब दो ऐसे चरों के मध्य सह-सम्बन्ध पाया जाता है। जिसमें निरंतरता पायी जाती है एवं जिसके मध्य होने वाले सम्बन्ध को एक सरल रेखा द्वारा व्यक्त किया जा सके। ऐसे सह-सम्बन्ध को रेखीय सह-सम्बन्ध कहा जाता है। इस प्रकार का सह-सम्बन्ध ज्ञात करने के लिए केवल उन्हीं चरों का चयन किया जाता है जिनका मापन अंतराल या अनुपात मापनी द्वारा संभव होता है।

2. वक्रात्मक सह-सम्बन्ध - यह वह सह-सम्बन्ध है जिसमें एक विशेष सीमा तक दो चरों में सह-सम्बन्ध धनात्मक होता है और इस सीमा के बाद सह-सम्बन्ध ऋणात्मक हो जाता है। निम्न ग्राफ में इस सह-सम्बन्ध को दिखाया गया है

उपरोक्त चित्र से स्पष्ट होता है कि आयु और स्मरण व्यक्ति के ऋणात्मक सह-सम्बन्ध है, क्योंकि आयु के बढ़ने के साथ-साथ स्मरण शक्ति एक निश्चित आयु तक ही बढ़ती है तथा इसके बाद आयु तो बढ़ती जाती है तथा स्मरण शक्ति बढ़ने की बजाय घटती जाती है। इसलिए ग्राफ में यह दोनों चर जहाँ तक बढ़ते है वहाँ तक तो धनात्मक सह-सम्बन्ध है और जिस बिंदु से आयु बढ़ती है किंतु स्मरण शक्ति घटना प्रारंभ हो जाती है उस बिंदु से आगे तक ऋणात्मक सह-सम्बन्ध है।

सह-सम्बन्ध की विधियाँ सह-सम्बन्ध की गणना के लिए मुख्य रूप से तीन विधियों का प्रयोग किया जाता है-

1. क्रम अंतर विधि
2. प्रोडक्ट मोमेन्ट विधि तथा
3. प्राप्ति विधि।

1. क्रम अंतर विधि - इस विधि का प्रयोग सर्वप्रथम स्पीयरमैन ने किया था। इस विधि द्वारा प्राप्त सह-सम्बन्ध गुणांक 'P' (Rho) से प्रदर्शित किया जाता है।

इस विधि द्वारा सह-सम्बन्ध ज्ञात करने के लिए प्रत्येक व्यक्ति को दूसरे व्यक्तियों की तुलना में स्थान दिया जाता है। इसमें अधिक अंक को पहले उसके कम को दूसरे स्थान पर फिर उससे कम को तीसरे स्थान पर और अंत में सबसे कम अंक रखा जायेगा। इसमें प्राप्तांकों को अवरोही क्रम में रखा जाता है। फिर क्रम से एक-एक अंक लेकर उनके क्रमों का अंतर (R1 R2) ज्ञात कर लेते हैं। अंतर ज्ञात करके उनका वर्ग बना लेते हैं और फिर वर्गों के योग से P (Rho) की गणना करते हैं।

क्रम अंतर विधि के गुण - यह निम्न प्रकार है-

1. इसकी गणना सरलता से होती है।
2. इसकी गणना केवल क्रमों से ही की जा सकती है।
3. इसे सुगमता से समझा जा सकता है।
4. यह छोटे प्राप्तांकों के प्रयोग में उपयोगी होता है।
5. विषम जातीय प्रदत्तों में यह उपयोगी है।
6. इस विधि में वास्तविक अंक की शुद्धता की आवश्यकता नहीं रहती।

दोष - यह निम्न प्रकार है-

1. क्रमों से वास्तविक ज्ञान नहीं होता है। यदि क्रम ही दिये गये हो तो वास्तविक अंकों के बिना भी सह-सम्बन्ध की गणना संभव है।

2. इस विधि द्वारा ज्ञात किया जाने वाला सह-सम्बन्ध प्रोडक्ट मोमेन्ट विधि द्वारा ज्ञात किये गये r की अपेक्षा कम निकलता है।

3. अधिक संख्याओं वाले चरों पर इसका प्रयोग संभव नहीं हो पाता।

4. इस विधि द्वारा व्यक्ति के वास्तविक प्राप्तांकों का मापन न करके केवल क्रमों की ही माप संभव होती है।

2. प्रोडक्ट मोमेन्ट विधि - पिर्यसन ने प्रोडक्ट मोमेन्ट सह-सम्बन्ध का सबसे पहले प्रयोग किया। प्रोडक्ट मोमेन्ट विधि सह-सम्बन्ध गुणांक एक प्रकार का वह अनुपात है जो कि एक चर के पारस्परिक या स्वतंत्र परिवर्तन को दूसरे चर की ओर अग्रसर करने की सीमा को व्यक्त करता है। 

सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने की प्रोडक्ट मोमेन्ट विधि के अंतर्गत कई विधियाँ आती है। सभी विधियों से शुद्ध परिणाम प्राप्त किये जा सकते है। यह विधियाँ अव्यवस्थित अंक सामग्री का सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात करने में प्रयोग की जाती है। इन विधियों से प्राप्त सह सम्बन्ध गुणांक को संकेत से प्रदर्शित करते हैं।

मान्यताएँ - यह निम्न प्रकार है-

1. सह सम्बन्ध को यदि ग्राफ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है तो ग्राफ रेखीय सह सम्बन्ध प्रदर्शित करता है।

2. इस सह सम्बन्ध से सम्बन्धित आँकड़ों के प्रामाणिक विचलन के आकार (size of SD) को परिवर्तित किया जाता है तो सह-सम्बन्ध में भी परिवर्तन दृष्टिगोचर होता है। अतः प्रामाणिक विचलन का आकार इस सह-सम्बन्ध का मुख्य प्रभावित करने वाला कारक है।

3. इस सह-सम्बन्ध की गणना उस समय सबसे अधिक उपयोगी होती है जब दिये गये प्राप्तांकों का विवरण सामान्य हो।

4. व्यवस्थित अंक सामग्री के सह-सम्बन्ध गुणांक की गणना में यदि N का मान कम है तथा वर्गान्तरों का आकार बड़ा है तथा वर्गान्तरों की संख्या भी अधिक हो तो सह सम्बन्ध गुणांक का मान कम होगा परन्तु यदि वर्गान्तरों का आकार और संख्या सामान्य होती है तो सह सम्बन्ध गुणांक का मान अधिक शुद्ध होता है।

5. जब N का आकार बड़ा होता है तो सह-सम्बन्ध गुणांक का मान अपेक्षाकृत कम तो अवश्य होता है परंतु इसकी शुद्धता अधिक होती है।

विशेषतायें - यह निम्न प्रकार है

1. इस सह सम्बन्धी गुणांक की गणना चूँकि M तथा SD पर आधारित होती है। अतः यह गुणांक अपेक्षाकृत अधिक शुद्ध होता है।

2. इस गुणांक की गणना की सहायता से मनोवैज्ञानिक परीक्षणों की विश्वसनीयता भी ज्ञात की जाती है।

3. इसका उपयोग पूर्व कथन के लिए (Regression Equation) को सहायता से किया जा सकता है।

4. विभिन्न चरों के सम्बन्ध विश्लेषण में भी इसका उपयोग है।

उपयोग की शर्ते-

1. जब प्राप्तांकों का वितरण सामान्य हो तो इसका उपयोग करना चाहिए।
2. जब प्रतिदर्श (sample) बड़ा हो।
3. जब दोनों चरों के प्राप्तांकों का विचलन लगभग समान हो।
4. जब पंक्तिगत सह-सम्बन्ध को आवश्यकता हो।

सह-सम्बन्ध गुणांक एक सूचक अंक (Index Number) है। यह न वास्तविक माप है और न ही आनुपातिक माप (Ratio Scale) है। सह-सम्बन्ध गुणांक से दो चरों के पारस्परिक कारणात्मक अनुपात का ज्ञान नहीं होता है। उदाहरण लिए यदि आयु का शारीरिक लंबाई में 0.60 सह-सम्बन्ध गुणांक प्राप्त होता है तो उसका अर्थ नहीं है आयु और शारीरिक लंबाई में 60% का अनुपात है।।

3. प्राप्ति विधि - इस विधि का प्रतिपादन कार्ल पिर्यसन के द्वारा सन 1896 में फ्रांसिस गाल्टन के द्वारा विकसित विचारों के आधार पर किया गया था। इस विधि से गुणनफल-आघूर्ण सह-सम्बन्ध गुणांक की गणना करते समय प्राप्तांकों के लिए मध्यमान तथा मानक विचल ज्ञात करने को आवश्यकता नहीं होती है। इस विधि में मूल प्राप्तांकों की सहायता से क्या भाव ज्ञात कर लेते है। प्राप्तांकों को छोटे होने अथवा मध्यमान व मानक विचलन के दशमलव संख्या में आने अथवा गणना यंत्र के उपलब्ध होने पर इस विधि का प्रयोग उचित है।

सूत्र -

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