यूनिट - IV

अध्याय - 4 :
सामान्य वितरण

(The Normal Distribution)

प्रश्न- सामान्य संभावना वक्र से क्या समझते हैं? इसके स्वरूप का वर्णन कीजिए।

अथवा
सामान्य वितरण वक्र क्या है? इसकी विभिन्न विशेषताओं का वर्णन कीजिए।
अथवा
प्रसामान्य संभाव्यता वक्र की कौन-कौन सी विशेषताएँ हैं? इसके उपयोगों या उपयोगिता की व्याख्या कीजिए।
अथवा
सामान्य संभाव्यता वक्र तथा उसकी विशेषताओं का वर्णन कीजिये।
अथवा
प्रसम्भाव्यता से आप क्या समझते हैं इसकी उपयोगिता पर प्रकाश डालिये।
सम्बन्धित लघु उत्तरीय प्रश्न
1. प्रसामान्य वितरण की मुख्य विशेषताएँ बताइए।

उत्तर -

एक परीक्षण पर प्राप्त प्राप्तांकों को यदि आवृत्ति वितरण बनाया जाय तो ऐसे वितरण को अवलोकित आवृत्ति वितरण (Observed frequency distribution) कहते हैं। इस वितरण को ग्राफ पर बनायें तो इसे अवलोकित वक्र (Observed curve) या वास्तविक वक्र (Real Curve) भी कहते हैं। अवलोकित वक्र (Observed curve) जब किसी बड़े यादृच्छिक समूह के आंकड़ों पर बनाते हैं तब इस वक्र की आवृत्ति घण्टे के आकार (Bell curve) की होती है। सामान्य संभावना वक्र एक गणितीय वक्र (Mathematical curve) है। इसको NPC और सामान्य वक्र (Normal curve) कहते हैं। लंदन निवासी फ्राँसीसी शरणार्थी अब्राहम डी माइवर (Abraham de moiver) ने इस वक्र रेखा के समीकरण का प्रतिपादन सन् 1933 में किया।

1. सामान्य संभावना वक्र का समीकरण (Equation of Normal Probability Curve) - निम्न समीकरण के द्वारा सामान्य संभावना वक्र के विस्तार तथा ऊँचाई का निर्धारण किया जाता है।

e = 2.718 या नैपेरियन लघु गुणांक पद्धति का आधार

= 3.1416 या वृत्त की परिधि और व्यास में अनुपात

यदि इन मानों को सूत्रों में रखें तो

2. आकृति (Shape) : सामान्य संभावना वक्र की आवृत्ति घंटाकार (Bell Shaped), पूर्ण सममिति (Symmetrical) एकल बहुलिकी (Uni Modal) एवं सामान्य वक्रता वाले (Mesokurtic) होती है।

3. केन्द्रीय मानों की समानता (Equality of Central Tendency) : मध्यमान (M). मध्यांक (Mdn) और बहुलाँक (Mo) का मान समान होता है और तीनों ही NPC के मध्य बिंदु पर स्थित होते हैं।

M = Mdn - Mo

4. विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) : इसमें विषमता गुणांक का मान शून्य होता है।

Sx = 0

5. कुकुदता या वक्रता गुणांक (Coefficient of Kurtosis) : सामान्य संभावना वक्रन तो बहुत नुकीला होता है और न तो बहुत चपटा होता है, यह औसत ऊँचाई वाला होता है। सामान्य संभावना वक्र के गुणांक का मान 0.263 होता है।

Ku = 0.263

6. अनन्तस्पर्शी (Agymptotic) - सामान्य संभावना वक्र का विस्तार ऋण अनन्त (0) से धन अनन्त तक होता है। इसी कारण सामान्य संभावना वक्र के सिरे कभी ४- अक्ष को स्पर्श नहीं करते हैं। इसी विशेषता के कारण इस वक्र को अनन्तस्पर्शी कहते हैं।

7. सामान्य संभावना वक्र के 1σ के अन्तर्गत वितरण प्राप्तांकों का 68.26% अर्थात् सामान्य संभावना वक्र का 2/3 भाग आ जाता है।

M + 2σ के अन्तर्गत वितरण का 95.44 भाग आता है।

M° 3σ के अन्तर्गत वितरण का 99.72 भाग आता है।

M° 4σ के अन्तर्गत 99.9936% केसेज आते हैं।

प्रासामान्य संभाव्यता की उपयोगिता (N) - इसके लिए दीर्घ उत्तरीय प्रश्न सं0 3 के सम्बन्धित लघु उत्तरीय प्रश्न 3 का उत्तर देखें।

8. सामान्य संभावना वक्र के प्राप्तांकों का मानक प्राप्तांकों में परिवर्तित कर सकते हैं। मानक प्राप्तांकों को मानक दूरी द्वारा व्यक्त करते हैं। इसे Z प्राप्तांक कहते हैं।

       X - M
Z = ----------
          σ

or

x / σ

विभिन्न सिगमा दूरियों के मध्य स्थित केसेज के प्रतिशत

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